Question

6．已知a＞0，函數f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+2a（a+1）lnx-（3a+1）x．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=l處的切線與直線y-3x=0平行，求a的值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間：
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意x∈[l，2]，f（x）-b²-6b≥0恒成立，求實數b的取值組成的集合．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出${f}^{'}（x）=x+\frac{2a（a+1）}{x}$-（3a+1），由導數的幾何意義得f′（1）=1+2a（a+1）-（3a+1）=2a²-a=3，由此能求出a的值．
（Ⅱ）f（x）的定義域為（0，+∞），${f}^{'}（x）=x+\frac{2a（a+1）}{x}-（3a+1）$=$\frac{（x-2a）[x-（a+1）]}{x}$，由此根據a＞1，0＜a＜1，a=1，進行分類討論，由此能求出f（x）的增區間．
（Ⅲ）當a=$\frac{3}{2}$時，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{15}{2}lnx-\frac{11}{2}x$，該函數在（0，$\frac{5}{2}$）上單調遞增，在區間[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1處取到，由此能求出實數b的取值組成的集合．

解答 解：（Ⅰ）∵a＞0，函數f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+2a（a+1）lnx-（3a+1）x，
∴${f}^{'}（x）=x+\frac{2a（a+1）}{x}$-（3a+1），
∵函數f（x）在x=l處的切線與直線y-3x=0平行，
∴f′（1）=1+2a（a+1）-（3a+1）=2a²-a=3，
解得a=$\frac{3}{2}$或a=-1．
又a＞0，∴a=$\frac{3}{2}$．
（Ⅱ）∵a＞0，函數f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+2a（a+1）lnx-（3a+1）x，
∴f（x）的定義域為（0，+∞），
${f}^{'}（x）=x+\frac{2a（a+1）}{x}-（3a+1）$=$\frac{{x}^{2}-（3a+1）x+2a（a+1）}{x}$=$\frac{（x-2a）[x-（a+1）]}{x}$，
①當2a＞a+1，即a＞1時，
由f′（x）＞0，得x＞2a或0＜x＜a+1，
∴f（x）的單調增區間是（0，a+1），（2a，+∞）．
②當2a＜a+1，即0＜a＜1時，
由f（x）＞0，得x＞a+1或0＜x＜2a，
∴f（x）的單調增區間是（0，2a），（a+1，+∞）．
③當2a=a+1，即a=1時，f′（x）≥0恒成立，（只在x=2a處處等于0），
∴f（x）在定義域（0，+∞）上是增函數．
綜上，當a＞1時，f（x）的增區間是（0，a+1），（2a，+∞）；
當0＜a＜1時，f（x）的增區間是（0，2a），（a+1，+∞）；
當a=1時，f（x）的增區間是（0，+∞）．
（Ⅲ）當a=$\frac{3}{2}$時，f（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{15}{2}lnx-\frac{11}{2}x$，
由（Ⅱ）知該函數在（0，$\frac{5}{2}$）上單調遞增，
∴在區間[1，2]上f（x）的最小值只能在x=1處取到．…（10分）
又f（1）=$\frac{1}{2}$-$\frac{11}{2}$=-5，…（11分）
若要保證對任意x∈[1，2]，f（x）-b²-6b≥0恒成立，
應該有-5≥b²+6b，即b²+6b+5≤0，解得-5≤b≤-1，…（13分）
∴實數b的取值組成的集合是{b|-5≤b≤-1}．…（14分）

點評 本題考查實數值的求法，考查函數的增區間的求法，考查滿足條件的實數的取值集合的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質的合理運用．