Question

16．已知f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，且f（x）+g（x）=2log₂（1-x）．
（1）求函數f（x）及g（x）的解析式；
（2）若關于x的方程f（2^x）=m有解，求實數m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用方程組思想，求函數f（x）及g（x）的解析式．
（2）利用函數單調性即可得出．

解答 解：（1）∵f（x）+g（x）=2log₂（1-x），
∴f（-x）+g（-x）=2log₂（1+x）①，
又f（x）為奇函數，g（x）為偶函數，
∴-f（x）+g（x）=2log₂（1+x）②，
∴由①②得：g（x）=log₂（1-x²），f（x）=log₂$\frac{1-x}{1+x}$，
（2）由$\frac{1-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$=-1+$\frac{2}{1+{2}^{x}}$∈（-1，1），可得f（2^x）＜0，
∵當x＜0時，函數f（2^x）單調遞減，
∴當m＜0時，關于x的方程f（2^x）=m有解，
∴實數m的取值范圍是m＜0．

點評 本題考查函數解析式的求解及常用方法--方程組法；考查對數函數的單調性，屬于中檔題．