Question

3．在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AB=BC=2AD=2，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點，以A為圓心，AD為半徑的圓交AB于G，點P在$\widehat{DG}$上運動（如圖）．若$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{BF}$，其中λ，μ∈R，則6λ+μ的取值范圍是（　�。�

• A． [1，$\sqrt{2}$]
• B． [$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$]
• C． [2，2$\sqrt{2}$]
• D． [1，2$\sqrt{2}$]

Answer 1

分析 建立如圖所示的坐標系，則A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F(xiàn)（1，1.5），P（cosα，sinα）（0≤α≤$\frac{π}{2}$），
由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{BF}$得，（cosα，sinα）=λ（2，1）+μ（-1，$\frac{3}{2}$），λ，μ用參數(shù)α進行表示，利用輔助角公式化簡，即可得出結(jié)論．

解答 解：建立如圖所示的坐標系，
則A（0，0），B（2，0），D（0，1），C（2，2），E（2，1），F(xiàn)（1，1.5），
P（cosα，sinα）（0≤α≤$\frac{π}{2}$），
由$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AE}$+μ$\overrightarrow{BF}$得，（cosα，sinα）=λ（2，1）+μ（-1，$\frac{3}{2}$）
⇒cosα=2λ-μ，sinα=λ+$\frac{3}{2}μ$
⇒λ=$\frac{3}{8}cosα+\frac{1}{4}sinα$，$μ=\frac{1}{2}sinα-\frac{1}{4}cosα$
∴6λ+μ=6（$\frac{3}{8}cosα+\frac{1}{4}sinα$）+$\frac{1}{2}sinα-\frac{1}{4}cosα$=2（sinα+cosα）=2$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）
∵$α+\frac{π}{4}∈[\frac{π}{4}，\frac{3π}{4}]$，∴sin（$α+\frac{π}{4}$）$∈[\frac{\sqrt{2}}{2}，1]$
∴2$\sqrt{2}$sin（$α+\frac{π}{4}$）∈[2，2$\sqrt{2}$]，即6λ+μ的取值范圍是[2，2$\sqrt{2}$]．
故選：C

點評 本題考查平面向量的坐標運算，考查學生的計算能力，正確利用坐標系是關(guān)鍵．屬于中檔題．