Question

15．已知函數f（x）=lnx+a（x²-3x+2），其中a為參數．
（1）當a=0時，求函數f（x）在x=1處的切線方程；
（2）討論函數f（x）極值點的個數，并說明理由；
（3）若對任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據導數的幾何意義，求得切線的斜率，利用點斜式方程，即可求得函數f（x）在x=1處的切線方程；
（2）求導，分類討論，根據導數與函數單調性及極值的關系，分別求得函數f（x）極值點的個數；
（3）方法一：由（2）可知：分類討論，根據函數的單調性，求得f（x）的最值，即可求得a的取值范圍；
方法二：設g（x）=2ax²-3ax+1，根據二次函數的性質，分類討論，即可求得實數a的取值范圍．

解答 解：（1）當a=0時，f（x）=lnx，f（1）=0，
求導f′（x）=$\frac{1}{x}$，f′（1）=1，
f（x）在x=1處的切線斜率k=1，則y-0=1×（x-1），整理得：y=x-1，；
∴函數f（x）在x=1處的切線方程y=x-1；…（3分）
（2）f（x）=lnx+a（x²-3x+2），定義域為（0，+∞）$f'（x）=\frac{1}{x}+a（2x-3）=\frac{{2a{x^2}-3ax+1}}{x}$，設g（x）=2ax²-3ax+1，
①當a=0時，g（x）=1，故f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上為增函數，所以無極值點．…（4分）
②當a＞0時，△=9a²-8a，
若0＜a≤$\frac{8}{9}$時△≤0，g（x）≥0，故f'（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上遞增，所以無極值點．
若a＞$\frac{8}{9}$時△＞0，設g（x）=0的兩個不相等的實數根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
且${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}$，而g（0）=1＞0，則$0＜{x_1}＜\frac{3}{4}＜{x_2}$，
所以當x∈（0，x₁），g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當x∈（x₁，x₂），g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；
當x∈（x₂，+∞），g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）單調遞增．
所以此時函數f（x）有兩個極值點；…（7分）
③當a＜0時△＞0，設g（x）=0的兩個不相等的實數根為x₁，x₂，且x₁＜x₂，
但g（0）=1＞0，所以x₁＜0＜x₂，
所以當x∈（0，x₂），g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）單調遞増；
當x∈（x₂，+∞），g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）單調遞減．
所以此時函數f（x）只有一個極值點．
綜上得：
當a＜0時f（x）有一個極值點；
當0≤a≤$\frac{8}{9}$時f（x）的無極值點；
當a＞$\frac{8}{9}$時，f（x）的有兩個極值點．…（9分）
（3）方法一：當0≤a≤$\frac{8}{9}$時，由（2）知f（x）在[1，+∞）上遞增，
所以f（x）≥f（1）=0，符合題意； …（10分）
當$\frac{8}{9}$＜a≤1時，g（1）=1-a≥0，x₂≤1，f（x）在[1，+∞）上遞增，所以f（x）≥f（1）=0，符合題意；    …（12分）
當a＞1時，g（1）=1-a＜0，x₂＞1，所以函數f（x）在（1，x₂）上遞減，所以f（x）＜f（1）=0，不符合題意；          …（14分）
當a＜0時，由（1）知lnx≤x-1，于是f（x）=lnx+a（x²-3x+2）≤x-1+a（x²-3x+2）
當$x＞2-\frac{1}{a}$時，x-1+a（x²-3x+2）＜0，此時f（x）＜0，不符合題意．
綜上所述，a的取值范圍是0≤a≤1．…（16分）
方法二：g（x）=2ax²-3ax+1，注意到對稱軸為$x=\frac{3}{4}$，g（1）=1-a，
當0≤a≤1時，可得g（x）≥0，故f（x）在[1，+∞）上遞增，所以f（x）≥f（1）=0，符合題意；
當a＞1時，g（1）=1-a＜0，x₂＞1，所以函數f（x）在（1，x₂）上遞減，此時f（x）＜f（1）=0，不符合題意；
當a＜0時，由（1）知lnx≤x-1，于是f（x）=lnx+a（x²-3x+2）≤x-1+a（x²-3x+2）
當$x＞2-\frac{1}{a}$時，x-1+a（x²-3x+2）＜0，此時f（x）＜0，不符合題意．
綜上所述，s的取值范圍是0≤a≤1．…（16分）

點評 本題考查導數的綜合應用，考查導數與函數單調性及極值的關系，考查二次函數的性質，考查分類討論思想，考查計算能力，屬于難題．