Question

8．甲、乙兩人進行圍棋比賽，約定先連勝兩局者直接贏得比賽，若賽完$\frac{2}{3}$局仍未出現連勝，則判定獲勝局數多者贏得比賽．假設每局甲獲勝的概率為$\frac{2}{3}$，乙獲勝的概率為$\frac{1}{3}$，各局比賽結果相互獨立．
（Ⅰ）求甲在4局以內（含 4 局）贏得比賽的概率；
（Ⅱ）記 X 為比賽決出勝負時的總局數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據概率的乘法公式，求出對應的概率，即可得到結論．
（Ⅱ）利用離散型隨機變量分別求出對應的概率，即可求X的分布列；以及數學期望．

解答 解：（I）用A表示甲在4局以內（含4局）贏得比賽的是事件，A_k表示第k局甲獲勝，B_k表示第k局乙獲勝，
則P（A_k）=$\frac{2}{3}$，P（B_k）=$\frac{1}{3}$，k=1，2，3，4，5
P（A）=P（A₁A₂）+P（B₁A₂A₃）+P（A₁B₂A₃A₄）=（$\frac{2}{3}$）²+$\frac{1}{3}×$（$\frac{2}{3}$）²+$\frac{2}{3}$×$\frac{1}{3}$×（$\frac{2}{3}$）²=$\frac{56}{81}$．
（Ⅱ）X的可能取值為2，3，4，5．
P（X=2）=P（A₁A₂）+P（B₁B₂）=$\frac{5}{9}$，
P（X=3）=P（B₁A₂A₃）+P（A₁B₂B₃）=$\frac{2}{9}$，
P（X=4）=P（A₁B₂A₃A₄）+P（B₁A₂B₃B₄）=$\frac{10}{81}$，
P（X=5）=P（A₁B₂A₃B₄A₅）+P（B₁A₂B₃A₄B₅）+P（B₁A₂B₃A₄A₅）+P（A₁B₂A₃B₄B₅）=$\frac{8}{81}$，
或者P（X=5）=1-P（X=2）-P（X=3）-P（X=4）=$\frac{8}{81}$，
故分布列為：

X	2	3	4	5
P	$\frac{5}{9}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{10}{81}$	$\frac{8}{81}$

E（X）=2×$\frac{5}{9}$+3×$\frac{2}{9}$+4×$\frac{10}{81}$+5×$\frac{8}{81}$=$\frac{224}{81}$．

點評 本題考查了相互獨立事件、互斥事件的概率計算公式、隨機變量的分布列與數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．