Question

（本小題滿分14分）平面內動點與兩定點連線的斜率之積等于，若點的軌跡為曲線，過點作斜率不為零的直線交曲線于點．

（1）求曲線的方程；

（2）求證：；

（3）求面積的最大值．

Answer 1

（1）；（2）見解析；（3）1.

【解析】

試題分析：(1)直接法求軌跡方程；設，再利用,利用兩點斜率公式化簡求的曲線的方程；(2)設，要證明需證即

，將直線方程與橢圓方程聯立，由韋達定理得到：；代入中化簡整理，得到，所以得證；（3）由，將（2）中得到的代入三角形的面積公式中故，再利用函數的單調性求得面積的最大值.

試題解析：（1）設動點P坐標為，當時，由條件得：

，化簡得，

故曲線E的方程為：.

（2）斜率不為，所以可設方程為，與橢圓聯立得：設， 所以. 6分

，

所以. 8分

（3）面積為，

當時的面積最大為.

考點：1.動點的軌跡方程；2.韋達定理；3.函數的最值.