Question

7．已知商場銷售某種茶杯購買人數n與茶杯標價x元滿足關系式：n=-x+b（b為常數）．把購買人數為零時的最低標價稱為無效價格，已知無效價格為每個30元．現在這種茶杯的成本價是10/個，商場以高于成本價的相同價格（標價）出售． 問：
（1）求b的值；
（2）商場要獲取最大利潤，茶杯的標價應定為每件多少元？
（3）通常情況下，獲取最大利潤只是一種“理想結果”，如果商場要獲得最大利潤的75%，那么茶杯的標價為每個多少元？

Answer 1

分析 （1）由n=-x+b及無效價格為30/個，求出b；
（2）求出利潤函數，由二次函數求最值；
（2）由題意得，（x-10）（-x+30）=100×75%，即可得出結論．

解答 解：（1）由n=-x+b及無效價格為30/個，得0=-30+b，∴b=30．       （2分）
（2）由（1），得n=-x+30．設茶杯利潤為y元，則                           （3分）
y=（x-10）（-x+30）=-x²+40x-300=-（x-20）²+100，x∈（10，30]．          （5分）
當x=20時，y_max=100．                                                   （6分）
故商場要獲取最大利潤，茶杯的標價應定為每個20元．                           （7分）
（3）由題意得，（x-10）（-x+30）=100×75%，即x²-40x+375=0．          （10分）
解得x₁=15，x₂=25．                                                       （11分）
故商場要獲取最大利潤的75%，根據客觀實際，每個標價應為15元．             （12分）

點評 本題考查了學生將實際問題轉化為數學問題的能力及函數的性質應用，屬于中檔題．