Question

13．已知點P（1，-2），Q（-1，-1），O（0，0），點M（x，y）在不等式組$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-1≥0}\\{2x+y-5≤0}\\{y≤x+2}\end{array}\right.$所表示的平面區域內，則|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{OM}$|的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，5]
• B． [$\frac{1}{2}$，5]
• C． [$\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\sqrt{5}$]
• D． [$\frac{1}{2}$，25]

Answer 1

分析 分別作出不等式組表示的平面區域，由于|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{OM}$|²=$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$，其幾何意義表示到點A（0，3）的距離取值范圍，通過圖象觀察，求得A（0，3）到直線的距離，即可得到所求最小值，到點D可得到所求最大值

解答 解：畫出不等式組所表示的平面區域，
由于P（1，-2），Q（-1，-1），O（0，0），點M（x，y），
∴$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{OM}$=（x，y-3），
∴|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{OM}$|²=$\sqrt{{x}^{2}+（y-3）^{2}}$，
其幾何意義表示到點A（0，3）的距離取值范圍，
則最小距離為點A到直線x-y+2=0的距離，即為$\frac{|0-3+2|}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
則最大距離為點A到點D的距離，即為$\sqrt{{3}^{2}+（3+1）^{2}}$=5，
∴則|$\overrightarrow{OP}$+$\overrightarrow{OQ}$+$\overrightarrow{OM}$|的取值范圍是[$\frac{\sqrt{2}}{2}$，5]，
故選：A．

點評 本題考查兩點的距離的最小值的求法，注意運用數形結合的思想方法，考查點到直線的距離公式的運用，屬于中檔題．