Question

函數是定義在區間(2k-1，2k+1)(k∈Z)上的奇函數，且對任意x∈(2k-1，2k+1)(k∈Z)均有f(x+2)=f(x)成立，當x∈[0，1)時，f(x)=a^1-x-a，(0＜a＜1)

(1)求f(x)的表達式；

(2)解不等式f(x)＞-a．

Answer 1

解：(1)∵f(x)是奇函數，

∴當x∈(-1，1)時，f(-x)=-f(x)

設x∈(-1，0)，則-x∈(0，1)，

而x∈(0，1)時，f(x)=a^1-x-a，

∴f(-x)=a^1+x-a=-f(x)

∴f(x)=a-a^1+x．

∴f（x）=.

又f（x+2）=f(x)，

∴f(x)為周期函數，且周期T=2．

∴f(x)=(k∈Z)

(2)當0≤x＜1時，

f(x)＞-aa^1-x-a＞-a

a^1-x＞．而0＜a＜1．∴＜x＜1．

當-1＜x＜0時，由于a-a^1+x＜0．-a＞0

因而不可能有f(x)＞-a．

∴f(x)＞-a在(-1，1)上的解為：＜x＜1．

由函數的周期性可知：+2k＜x＜2k+1．(A∈Z).