Question

7．為了回饋顧客，某商場在元旦期間舉行購物抽獎活動，舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案，方案甲的中獎率為$\frac{3}{5}$，中獎可以獲得3分；方案乙的中獎率為$\frac{3}{4}$，中獎可以獲得2分；未中獎則不得分，每人有且只有一次抽獎機會，每次抽獎中獎與否互不影響，抽獎結束后憑分數兌換獎品．
（1）若小明選擇方案甲抽獎，小紅選擇方案乙抽獎，記他們的累計得分為X，求X≥3的概率；
（2）若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎，分別求兩種方案下小明、小紅累計得分的分布列，并指出為了累計得分較大，兩種方案下他們選擇何種方案較好，并給出理由？

Answer 1

分析 （1）由已知得小明中獎的概率為$\frac{3}{5}$，小紅中獎的概率為$\frac{3}{4}$，且兩人中獎與否互不影響，記“這兩人的累計得分X≥3”的事件為A，則事件A包含“X=3”、“X=5”2個互斥的事件，由此能求出X≥3的概率．
（2）設小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X₁，則X₁的所有可能的取值為0，3，6，求出X₁的分布列和E（X₁）；都選擇方案乙所獲得的累計得分為X₂，則X₂的所有可能取值為0，2，4，求出X₂的分布列和E（X₂），從而得到E（X₁）＞E（X₂），進而得到他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數學期望較大．

解答 解：（1）由已知得小明中獎的概率為$\frac{3}{5}$，小紅中獎的概率為$\frac{3}{4}$，且兩人中獎與否互不影響，
記“這兩人的累計得分X≥3”的事件為A，則事件A包含“X=3”、“X=5”2個互斥的事件，
∴X≥3的概率P（X≥3）=P（X=3）+P（X=5）=$\frac{3}{5}×\frac{1}{4}+\frac{3}{5}×\frac{3}{4}$=$\frac{3}{5}$．
（2）設小明、小紅都選擇方案甲所獲得的累計得分為X₁，則X₁的所有可能的取值為0，3，6，
則X₁的分布列為：

X1	0	3	6
P	$\frac{4}{25}$	$\frac{12}{25}$	$\frac{9}{25}$

E（X₁）=$0×\frac{4}{25}+3×\frac{12}{25}+6×\frac{9}{25}$=$\frac{18}{5}$．
都選擇方案乙所獲得的累計得分為X₂，則X₂的所有可能取值為0，2，4，
則X₂的分布列為：

X2	0	2	4
P	$\frac{1}{16}$	$\frac{6}{16}$	$\frac{9}{16}$

E（X₂）=$0×\frac{1}{16}+2×\frac{6}{16}+4×\frac{9}{16}$=3，
∵E（X₁）＞E（X₂），∴他們都選擇方案甲進行抽獎時，累計得分的數學期望較大．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望的求法及應用，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．