Question

設F₁、F₂分別是橢圓

x2

16

+

y2

12

=1的左、右焦點，點P在橢圓上，若△PF₁F₂為直角三角形，則△PF₁F₂的面積等于（　　）

• A、4

  3

• B、6
• C、12或6
• D、4

  3

  或6

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：根據橢圓方程求得c=2＜b，從而判斷出點P對兩個焦點張角的最大值小于90°，可得直角三角形的直角頂點在焦點處，再利用橢圓的方程算出點P到F₁F₂軸的距離，利用三角形面積公式加以計算，可得△PF₁F₂的面積．

解答：解：∵設橢圓短軸的一個端點為M，
∵橢圓

x2

16

+

y2

12

=1中，a=4，b=2

3

，
∴c=

a2-b2

=2
 由此可得∠OMF₁=30°，得到∠F₁MF₂＜90°，
∴若△PF₁F₂是直角三角形，只能是∠PF₁F₂=90°或∠PF₂F₁=90°．
 令x=±2，
 得y²=9，
解得|y|=3，即P到F₁F₂軸的距離為3．
∴△PF₁F₂的面積S=

1

2

|F₁F₂|×3=

1

2

×4×3=6，
故選：B．

點評：本題給出點P是橢圓上與兩個焦點構成直角三角形的點，求△PF₁F₂的面積．著重考查了橢圓的標準方程、簡單幾何性質和三角形的面積計算等知識，屬于中檔題．