Question

設F₁，F₂為雙曲線x²-y²=1的左右焦點，P是雙曲線上在x軸上方的點，∠F₁PF₂為直角，則sinPF₁F₂的所有可能取值之和為

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：由|PF₁|-|PF₂|=2，|PF₁|²+|PF₂|²=8，求出：|PF₁|=

3

+1，|PF₂|=

3

-1，利用直角三角形即可得出sin∠PF₁F₂=

3 -1

2 2

=

6 - 2

4

，
再利用對稱性得出 另一個值

6 + 2

4

．

解答： 解：∵F₁，F₂為雙曲線x²-y²=1的左右焦點，P是雙曲線上在x軸上方的點，∠F₁PF₂為直角
∴|F₁F₂|=2

2

，
|PF₁|-|PF₂|=2，
|PF₁|²+|PF₂|²=8，
聯合方程求解得：|PF₁|=

3

+1，|PF₂|=

3

-1，
∴sin∠PF₁F₂=

3 -1

2 2

=

6 - 2

4

，
cos∠PF₁F₂=

3 +1

2 2

=

6 + 2

4

，
根據對稱性可知：當P點在坐支上時，此時的sinPF₁F₂=

6 + 2

4

故

6 - 2

4

+

6 + 2

4

=

6

2

，
故答案為：

6

2

．

點評：本題考查了雙曲線的定義，焦點三角形的性質，勾股定理，雙曲線的對稱性，綜合求解問題，屬于中檔題．