Question

【題目】四位數和互為反序的正整數，且，、分別有16個、12個正因數（包括1和本身），的質因數也是的質因數，但的質因數比的質因數少1個，求的所有可能值.

Answer 1

【答案】

【解析】

設，.則.

由，則.

故，，.

于是，，.

由為奇數，知與一奇一偶.

若為偶數，即，則，為偶數.矛盾.

因此，為偶數，為奇數.

記分解質因數后，的個數為，2的個數為.則，.

由因數個數定理得.

于是 ，，.

所以，或8，或7.

故至多有三個質因數.

于是，至多含有兩個質因數，3是的一個質因數.

若只有一個質因數，則這個質因數為3.從而，，與是四位數相矛盾.

因此，含有兩個質因數.

設的另一個質因數為.

因為，所以，或或 .

故.

又，則，，即.

由，知.

此時，的值大于.

當時，.

而不互為反序數，于是，.此時，.

因此，.于是，，

，

. ①

.

故.

因為為奇數，所以，為奇數.故.

由式①得

.

因為為偶數，所以，為偶數.

于是，或8.

當時，由式①得

.

因為，所以，.

得，，.

于是，或9.

當時，；

當時，.

于是，或1998.

因為，所以，.

又，符合題意.

因此，.