【題目】已知圓
，點
，點
是圓
上的一個動點，點
分別在線段
上，且滿足
，
.
（1）求點的軌跡方程；
（2）過點作斜率為
的直線
與點的軌跡相交于
兩點，在
軸上是否存在點
，使得以
為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出
的取值范圍；如果不存在，說明理由.
【答案】（1）
.（2）存在，取值范圍是
【解析】
（1）由
知
為線段
的中點， 由
知
， 故點
為線段的垂直平分線上的一點，從而可得點的軌跡是以
為焦點，長軸長為4的橢圓，由此可得其軌跡方程；
（2）點
是橢圓的右焦點，設直線
.與橢圓方程聯立消去
得一元二次方程，設
，則
，假設存在滿足題意的點
，則由對角線垂直即
可把
表示為
的函數，結合不等式性質可得結論．
（1）由知為線段的中點， 由知， 故點為線段的垂直平分線上的一點，從而
，則有
，
∴點的軌跡是以為焦點，長軸長為4的橢圓， ∵
∴
，∴點的軌跡方程是.
（2）由（1）知點是橢圓的右焦點，設直線.
由
，消去并整理，得到
.
設，則
，從而
假設存在滿足題意的點，則
，
∵菱形的對角線互相垂直， ∴，
即
又
∴
即
由
，且
， 
，
故存在滿足題意的點，且的取值范圍是.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】為迎接2022年北京冬季奧運會，普及冬奧知識，某校開展了“冰雪答題王”冬奧知識競賽活動．現從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取了100名學生，將他們的比賽成績（滿分為100分）分為6組：
，
得到如圖所示的頻率分布直方圖．
（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）記
表示事件“從參加冬奧知識競賽活動的學生中隨機抽取一名學生，該學生的比賽成績不低于80分”，估計的概率；
（Ⅲ）在抽取的100名學生中，規定：比賽成績不低于80分為“優秀”，比賽成績低于80分為“非優秀”．請在答題卡上將
列聯表補充完整，并判斷是否有
的把握認為“比賽成績是否優秀與性別有關”？
參考公式及數據：
，
．
| 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】下面使用類比推理，得到的結論正確的是（ ）
A. 直線
，若
，則
.類比推出:向量
，
，
，若∥，∥，則∥.
B. 三角形的面積為
，其中
，
，
為三角形的邊長，
為三角形內切圓的半徑，類比推出，可得出四面體的體積為
，（
，
，
，
分別為四面體的四個面的面積，為四面體內切球的半徑）
C. 同一平面內，直線，若
，則
.類比推出:空間中，直線，若，則.
D. 實數
，若方程
有實數根，則
.類比推出:復數，若方程有實數根，則.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】選修4-4：坐標系與參數方程
在平面直角坐標系
中,已知直線
的參數方程為
(
為參數),以坐標原點為極點,以
軸正半軸為極軸建立極坐標系,曲線
的極坐標方程為
，直線與曲線交于
兩點.
(1)求直線l的普通方程和曲線的直角坐標方程;
(2)已知點
的極坐標為
,求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】四位數
和
互為反序的正整數，且
，、分別有16個、12個正因數（包括1和本身），的質因數也是的質因數，但的質因數比的質因數少1個，求的所有可能值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知在直角坐標系xOy中，圓C的參數方程為
為參數
，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為
．
1求圓C的普通方程和直線l的直角坐標方程；
2設M是直線l上任意一點，過M做圓C切線，切點為A、B，求四邊形AMBC面積的最小值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知點
，直線
為平面內的動點，過點
作直線
的垂線，垂足為點
，且
.
（1）求動點的軌跡
的方程；
（2）過點
作兩條互相垂直的直線
與
分別交軌跡于
四點.求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某班上午有五節課，分別安排語文，數學，英語，物理，化學各一節課．要求語文與化學相鄰，數學與物理不相鄰，且數學課不排第一節，則不同排課法的種數是
A. 24B. 16C. 8D. 12
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