Question

已知雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)，斜率為1的直線過雙曲線C的左焦點且與該曲線交于A，B兩點，若

OA

+

OB

與向量

n

=（-3，-1）共線，則雙曲線C的離心率為（　　）

• A、

  3

• B、

  2 3

  3

• C、

  4

  3

• D、3

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：平面向量及應用,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：求出雙曲線的左焦點和直線AB的方程，聯立雙曲線方程，運用韋達定理和向量的坐標運算即可得到a²=3b²，再由a，b，c的關系和離心率公式，計算即可得到．

解答： 解：雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的左焦點為（-c，0），
斜率為1的直線方程設為y=x+c，
代入雙曲線的方程得（b²-a²）x²-2a²cx-a²c²-a²b²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=

2a2c

b2-a2

，y₁+y₂=x₁+x₂+2c=

2a2c

b2-a2

+2c=

2b2c

b2-a2

，
若

OA

+

OB

與向量

n

=（-3，-1）共線，則有y₁+y₂=

1

3

（x₁+x₂），
即有a²=3b²，即c²=a²+b²=

4

3

a²，
即e=

c

a

=

2 3

3

．
故選B．

點評：本題考查雙曲線的方程和性質，主要考查離心率的求法，同時考查向量的坐標運算，由直線方程和雙曲線方程聯立，運用韋達定理是解題的關鍵．