Question

為了調查學生星期天晚上學習時間利用問題，某校從高二年級100名學生（其中走讀生450名，住宿生550名）中，采用分層抽樣的方法抽取n名學生進行問卷調查，根據問卷取得了這n名同學每天晚上學習時間（單位：分鐘）的數據，按照以下區間分為八組
①[0，30），②[30，60）③[60，90）④[90，120）⑤[120，150）⑥[150，180）⑦[180，210）⑧[210，240），得到頻率布直方圖如圖，已知抽取的學生中星期天晚上學習時間少于60分鐘的人數為5人．
（1）求n的值并補全下列頻率分布直方圖；
（2）如果把“學生晚上學習時間達到兩小時”作為是否充分利用時間的標準，對抽取的n名學生，完成下列2×2列聯表：

	利用時間充分	利用時間不充分	合計
走讀生
住校生		10
合計

據此資料，你是否認為學生“利用時間是否充分”與走讀、住校有關？
（3）若在第①組、第②組共抽出2人調查影響有效利用時間的原因，求抽出的2人中第①組第②組各有1人的概率．

Answer 1

考點：頻率分布直方圖,列舉法計算基本事件數及事件發生的概率

專題：概率與統計

分析：（1）由分層抽樣及頻率分布直方圖的特點即可求得結果；
（2）由分布直方圖可完成表格，再將數據帶入給定的公式即可；
（3）先列出基本事件總數的情況，再挑出滿足條件的情況即可．

解答： 解：（1）設第i組的頻率為P_i（i=1，2，…，8），
由圖可知：P₁=

1

1500

×30=

2

100

，P₂=

1

1000

×30=

3

100

，
∴學習時間少于60分鐘的頻率為P₁+P₂=

5

100

，
由題意：n×

5

100

=5
∴n=100，
又P₃=

1

375

×30=

8

100

，P₅=

1

100

×30=

30

100

，
P₆=

1

120

×30=

25

100

，P₇=

1

200

×30=

15

100

，P₈=

1

600

×30=

5

100

，
∴P₄=1-（P₁+P₂+P₃+P₅+P₆+P₇+P₈）=

12

100

，
∴第④組的高度為：h=

12

100

×

1

30

=

12

3000

=

1

250

，
頻率分布直方圖如右圖
（2）由頻率分布直方圖可知，在抽取的100人中，
“走讀生”有45人，利用時間不充分的有40人，
從而2×2列聯表如下：

	利用時間充分	利用時間不充分	總計
走讀生	30	15	45
住宿生	45	10	55
總計	75	25	100

將2×2列聯表中的數據代入公式計算，得                                 
K²=

100(30×10-45×15)2

(30+45)(15+10)(30+15)(45+10)

=

100

33

≈3.030，
因為3.030＜3.841，
所以沒有理由認為學生“利用時間是否充分”與走讀、住宿有關；
（3）記第①組2人為A₁、A₂，第②組的3人為B₁、B₂、B₂，則“從5人中抽取2人”
所構成的基本事件空間Ω=“A₁A₂、A₁B₁、A₁B₂、A₁B₃、A₂B₁、A₂B₂、A₂B₃、
B₁B₂、B₁B₃、B₂B₃”，共10個基本事件；
記“抽取2人中第①組、第②組各有1人”記作事件A，
則事件A所包含的基本事件有：A₁B₁、A₁B₂、A₁B₃、
A₂B₁、A₂B₂、A₂B₃共6個基本事件，
∴P（A）=

6

10

=

3

5

，
即抽出的2人中第①組第②組各有1人的概率為

3

5

．

點評：本題考查頻率分布直方圖及概率的計算，做題時要認真審題，弄清題意，屬基礎題．