Question

7．已知函數y=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，且其圖象在x=1處切線斜率為-3
（1）求函數的單調區間；
（2）求函數的極大值與極小值的差．

Answer 1

分析 （1）求出y'=3x²+6ax+3b，由題意得12+12a+3b=0，且k=y′|_x=1=3+6a+3b=-3，由此能求出a=-1，b=0，從而y=x³-3x²+c，則y'=3x²-6x，由此利用導數性質能求出函數的單調區間．
（2）由y'=3x²-6x=0，解得x=0，x=2，推導出函數在x=0時取得極大值c，在x=2時取得極小值c-4，從而能求出函數的極大值與極小值的差．

解答 解：（1）∵函數y=x³+3ax²+3bx+c，
∴y'=3x²+6ax+3b，
∵函數y=x³+3ax²+3bx+c在x=2處有極值，
∴當x=2時，y′=0，即12+12a+3b=0，①
∵函數圖象在x=1處的切線與直線6x+2y+5=0平行，
∴k=y′|_x=1=3+6a+3b=-3，②
聯立①②，解得a=-1，b=0，
∴y=x³-3x²+c，則y'=3x²-6x，
令y'=3x²-6x＞0，解得x＜0或x＞2，
令y'=3x²-6x＜0，解得0＜x＜2，
∴函數的單調遞增區間是（-∞，0），（2，+∞），單調遞減區間是（0，2）；
（2）由（1）可知，y'=3x²-6x，
令y′=0，即3x²-6x=0，解得x=0，x=2，
∵函數在（-∞，0）上單調遞增，在（0，2）上單調遞減，在（2，+∞）上單調遞增，
∴函數在x=0時取得極大值c，在x=2時取得極小值c-4，
∴函數的極大值與極小值的差為c-（c-4）=4．

點評 本題考查函數的單調區間的求法，考查函數的極大值與極小值的差的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意導數性質及導數的幾何意義的合理運用．