Question

4．已知函數f（x）=4tanxsin（$\frac{π}{2}$-x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-$\sqrt{3}$
（Ⅰ）求f（x）的定義域與最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在區間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的單調增區間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式，再利用正切函數的定義域，正弦函數的周期性，求得該函數的定義域與最小正周期．
（Ⅱ）利用正弦函數的單調性求得f（x）在區間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的單調增區間．

解答 解：（Ⅰ）函數f（x）=4tanxsin（$\frac{π}{2}$-x）cos（$\frac{π}{3}$-x）-$\sqrt{3}$=4tanx•cosx•cos（$\frac{π}{3}$-x）-$\sqrt{3}$
=4sinxcos（$\frac{π}{3}$-x）-$\sqrt{3}$=2sinxcosx+2$\sqrt{3}$sin²x-$\sqrt{3}$=sin2x+2$\sqrt{3}$•$\frac{1-cos2x}{2}$-$\sqrt{3}$=sin2x-$\sqrt{3}$cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{3}$），
故它的最小正周期為$\frac{2π}{2}$=π，再根據tanx有意義可得x≠kπ+$\frac{π}{2}$，故函數的定義域為{x|x≠kπ+$\frac{π}{2}$，k∈Z}．
（Ⅱ）令2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{3}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$，求得kπ-$\frac{π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{5π}{12}$，可得函數的增區間為[kπ-$\frac{π}{12}$，kπ+$\frac{5π}{12}$]，k∈Z，
再根據x在區間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上，可得f（x）在區間[-$\frac{π}{4}$，$\frac{π}{4}$]上的單調增區間為[-$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{4}$]．

點評 本題主要考查三角恒等變換，正切函數的定義域，正弦函數的周期性、單調性，屬于中檔題．