Question

若圓C₁：（x+4）²+y²=4與x軸相交于A，B兩點，點P為圓C₁上不同于點A，B的任意一點，直線PA，PB分別交y軸于S，T兩點，當點P變化時，以ST為直徑的圓C₂是否經過圓C₁內一定點，請證明你的結論．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：綜合題,直線與圓

分析：確定直線PA，PB的方程，可得S，T兩點的坐標．當點P變化時，確定以ST為直徑的圓C₂的方程，令y=0，求得點的坐標，即可判斷否經過圓C₁內一定點．

解答： 解：設P（x₀，y₀）（y₀≠0），則
∵圓C₁：（x+4）²+y²=4與x軸相交于A，B兩點，
∴A（-6，0），B（-2，0），
∴l_PA：y=

y0

x0+6

（x+6），S（0，

6y0

x0+6

），
l_PB：y=

y0

x0+2

（x+1），T（0，

2y0

x0+2

）．
圓C₂的方程化簡得x²+y²-（

6y0

x0+6

+

2y0

x0+2

）y-12=0，
令y=0，得x=±2

3

．
又點（-2

3

，0），在圓C₁內，
所以當點P變化時，以ST為直徑的圓C₂經過圓C₁內一定點（-2

3

，0）．

點評：本題考查考查圓的方程，考查圓過定點，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．