Question

⊙A的方程為x²+y²-2x-2y-7=0，⊙B的方程為x²+y²+2x+2y-2=0，判斷⊙A和⊙B是否相交．若相交，求過兩交點的直線的方程及兩交點間的距離；若不相交，說明理由．

Answer 1

考點：圓與圓的位置關系及其判定,圓的一般方程

專題：直線與圓

分析：通過圓心距與半徑的關系確定圓的方程；
兩圓方程相減得到公共弦的直線方程，再由點到直線的距離公式求公共弦長．

解答： 解：由已知得⊙A的方程可寫為（x-1）²+（y-1）²=9，
⊙B的方程可寫為（x+1）²+（y+1）²=4，
∴兩圓心之間的距離為：

(1+1)2+(1+1)2

=2

2

，滿足3-2＜2

2

＜5，
即兩圓心之間的距離小于兩圓半徑之和大于兩圓半徑之差．
∴兩圓相交．
⊙A的方程與⊙B的方程左、右兩邊分別相減得-4x-4y-5=0，
即4x+4y+5=0為過兩圓交點的直線的方程．設兩交點分別為C、D，則
CD：4x+4y+5=0．
點A到直線CD的距離為d=

|4×1+4×1×+5|

42+42

=

13

8

2

由勾股定理，得|CD|=2

rA2-d 2

=2

32- 169 32

=

238

4

．

點評：本題考查了兩圓位置關系的確定以及點到直線的距離公式的運用；兩圓相交時，公共弦所在的直線是兩圓方程相減得到的方程．