Question

（本小題滿分14分）已知橢圓過點，點是橢圓的左焦點，點、是橢圓上的兩個動點，且、、成等差數列．

（1）求橢圓的標準方程；

（2）求證：線段的垂直平分線經過一個定點.

 

Answer 1

（1）；（2）詳見解析.

【解析】

試題分析：（1）求橢圓的標準方程，設橢圓C的方程為，由已知點是橢圓的左焦點，可得，又因為橢圓過點，將點代入橢圓方程解出即可得橢圓的標準方程；（2）求證：線段的垂直平分線經過一個定點，由已知、、成等差數列，可得，由于，而點、是橢圓上的兩個動點，可設，，這樣得，，代入，求得，因此可設線段的中點為，再由，可得，得斜率為，寫出線段的垂直平分線即可證出.

試題解析：（1）設橢圓C的方程為， 1分

由已知，得 2分

解得 3分

∴橢圓的標準方程為. 4分

（2）證明：設，，由橢圓的標準方程為，

可知， 5分

同理， 6分

， 7分

，，

. 8分

（�。┊�時，由得，

.

設線段的中點為，由，

得線段的中垂線方程為， 11分

，該直線恒過一定點. 12分

（ⅱ）當時，，或，，

線段的中垂線是x軸，也過點.

綜上，線段的中垂線過定點. 14分

（2）問【解法二】

（ⅰ）若斜率存在時：

設直線為

聯立，消得： 5分

設點，則： 6分

由于且

所以，

又因為，其中，故

可得，從而 8分

由（3）式及得

所以直線的中垂線為 10分

化簡得 11分

故：直線的中垂線過定點 12分

（ⅱ）若斜率不存在時：同解法一. 14分

考點：橢圓的方程，二次曲線定點問題，直線與二次曲線位置關系.