Question

【題目】已知函數 F (x) = e x 滿足 F ( x) = g ( x) + h( x) ，且 g ( x), h( x) 分別是定義在 R 上的偶函數和奇函數．

（1）求函數 h(x)的反函數；

（2）已知(x) = g(x 1)，若函數(x)在 [1,3]上滿足(2 a+1) ，求實數 a 的取值范圍；

（3）若對于任意 x ∈(0,2]不等式 g(2x) ah(x) ≥ 0 恒成立，求實數 a 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）

【解析】

（1）由題意可得：，，聯立解得：，．由，化為：，，解得．可得．

（2），函數在，上滿足，轉化為：函數在，上滿足：，由于函數在，上單調遞增，且函數為偶函數，可得，，，解得范圍．

（3）不等式，即，令，由，，可得，，不等式轉化為：，，利用基本不等式的性質即可得出．

解：（1）由題意可得：，，

聯立解得：，．

由，化為：，，解得．

．

（2），函數在，上滿足，

轉化為：函數在，上滿足：，

由于函數在，上單調遞增，且函數為偶函數，

，，，解得．

（3）不等式，即，

令，由，，可得，，

不等式轉化為：，，，當且僅當時取等號．

．