Question

13．已知$f（n）=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…$$+\frac{1}{{{{（{n-1}）}^2}}}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{{{（{n-1}）}^2}}}$$+…+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{1^2}$（n∈N^*），則當k∈N^*時，f（k+1）-f（k）等于（　�。�

• A． $\frac{1}{{（{{k^2}+1}）}}$
• B． $\frac{1}{k^2}$
• C． $\frac{1}{{{{（{k-1}）}^2}}}+\frac{1}{k^2}$
• D． $\frac{1}{{{{（{k+1}）}^2}}}+\frac{1}{k^2}$

Answer 1

分析 當k∈N^*時，f（k+1）-f（k）=$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2}{（k-1）^{2}}$+$\frac{2}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$-（$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2}{（k-1）^{2}}$+$\frac{1}{{k}^{2}}$），由此能求出結果．

解答 解：∵$f（n）=\frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+…$$+\frac{1}{{{{（{n-1}）}^2}}}+\frac{1}{n^2}+\frac{1}{{{{（{n-1}）}^2}}}$$+…+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{1^2}$（n∈N^*），
∴當k∈N^*時，f（k+1）-f（k）
=$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2}{（k-1）^{2}}$+$\frac{2}{{k}^{2}}$+$\frac{1}{（k+1）^{2}}$-（$\frac{2}{{1}^{2}}$+$\frac{2}{{2}^{2}}$+$\frac{2}{{3}^{2}}$+…+$\frac{2}{（k-1）^{2}}$+$\frac{1}{{k}^{2}}$）
=$\frac{1}{k{\;}^{2}}+\frac{1}{（k+1）^{2}}$．
故選：D．

點評 本題考查函數式求值，考查待定系數法的應用，考查學生分析解決問題的能力，考查函數的性質及應用，是基礎題．