Question

已知函數f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，f（-1）=-2，當x∈R時，f（x）≥2x恒成立，求實數a的值，并求此時f（x）的最小值．

Answer 1

考點：函數恒成立問題

專題：函數的性質及應用,不等式的解法及應用

分析：把f（-1）=-2代入f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，得到lgb=-1+lga，由f（x）≥2x，得x²+（lga+2）x-1+lga-2x≥0，然后利用判別式小于等于0列式求得a的值，得到f（x）的解析式，再利用配方法求得函數最小值．

解答： 解：f（x）=x²+（lga+2）x+lgb，由f（-1）=-2，得
（-1）²-lga-2+lgb=-2，即lgb=-1+lga，
∴f（x）=x²+（lga+2）x-1+lga，
由f（x）≥2x，得x²+（lga+2）x-1+lga-2x≥0，
即x²+xlga+lga-1≥0對x∈R恒成立，
則△=lg²a-4lga+4=（lga-2）²≤0恒成立．
∴lga-2=0，即lga=2，a=100；
此時f（x）=x²+4x+1=（x+2）²-3，f（x）的最小值為-3．

點評：本題考查了函數恒成立問題，考查了對數的運算性質，考查了利用配方法求二次函數的值域，是中檔題．