Question

3．若在區間[a，a+2]上，函數f（x）=2^x-5的最小值不小于g（x）=4x-x²的最大值，則正數a的取值范圍為（　　）

• A． [3，+∞）
• B． （0，3）
• C． （3，+∞）
• D． [3，4）

Answer 1

分析 運用指數函數的單調性可得f（x）的最小值，討論a的范圍，可得g（x）的最大值，構造h（a）=2^a-5-4a+a²，a＞2，求出導數，判斷單調性，即可得到a的范圍．

解答 解：在區間[a，a+2]上，函數f（x）=2^x-5的最小值為2^a-5，
當0＜a≤2時，g（x）=4x-x²的最大值為g（2）=4，
由題意可得2^a-5≥4，解得a≥log₂9，不成立；
當a＞2時，g（x）在[a，a+2]上遞減，可得g（x）的最大值為4a-a²．
由題意可得2^a-5≥4a-a²，
設h（a）=2^a-5-4a+a²，a＞2，
h′（a）=2^aln2-4+2a，當a＞2時，h′（a）＞0，h（a）在（2，+∞）遞增，
由于h（3）=8-5-12+9=0，
則h（a）≥0=h（3），
解得a≥3．
故選：A．

點評 本題考查函數的最值的求法，注意運用函數的單調性，考查構造法和分類討論思想方法的運用，考查運算能力，屬于中檔題．