Question

【題目】已知橢圓的離心率為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，過點的直線與橢圓相交于、兩點.

(1)求橢圓的方程；

(2)若以為直徑的圓過坐標原點，求的值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)

【解析】

（1）由離心率得到，由橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，得到，進而可求出結果；

（2）先由題意，得直線的斜率存在，設直線的方程為，聯立直線與橢圓方程，設，根據韋達定理，得到，，再由以為直徑的圓過坐標原點，得到，進而可求出結果.

(1)由題意知，

∴，即 ，

又雙曲線的焦點坐標為，橢圓的短軸端點與雙曲線的焦點重合，

所以，∴，

故橢圓的方程為.

(2)解：由題意知直線的斜率存在，設直線的方程為

由得：

由得：

設，則，，

∴

因為以為直徑的圓過坐標原點，

所以，

.滿足條件

故.