Question

5．已知三點A（1，-1），B（3，0），C（2，1），P為平面ABC上的一點，$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$，且$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AB}$=0，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{AC}$=3．
（1）求$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$；
（2）求λ+μ 的值．

Answer 1

分析 （1）求出$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$的坐標，代入向量的坐標運算公式計算數量積；
（2）用λ，μ表示出$\overrightarrow{AP}$的坐標，根據向量的數量積公式列方程組求出λ+μ．

解答 解：（1）$\overrightarrow{AB}$=（2，1），$\overrightarrow{AC}$=（1，2），
∴$\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}$=2×1+1×2=4．
（2）$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$+μ$\overrightarrow{AC}$=（2λ+μ，λ+2μ），
∵$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AC}=3}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{4λ+2μ+λ+2μ=0}\\{2λ+μ+2λ+4μ=3}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{5λ+4μ=0}\\{4λ+5μ=3}\end{array}\right.$，
兩式相加得：9λ+9μ=3，
∴λ+μ=$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查了平面向量的坐標運算，數量積運算，屬于中檔題．