Question

1．從-3，-2，-1，1，2，3中任取三個不同的數作為橢圓方程ax²+by²+c=0中的系數，則確定不同橢圓的個數為（　　）

• A． 20
• B． 18
• C． 9
• D． 16

Answer 1

分析 根據題意，先將方程為ax²+by²+c=0變形為$\frac{{x}^{2}}{-\frac{c}{a}}$+$\frac{{y}^{2}}{-\frac{c}{b}}$=1，由橢圓的標準方程分析可得a、b＞0，c＜0或a、b＜0，c＞0，進而分2種情況討論：①當a、b＞0，c＜0時，
分析可得a、b需要在1，2，3三個數中任取2個，由排列數公式計算可得其取法數目，c在-3，-2，-1三個數中任取1個，易得c有3種取法，由分步計數原理計算可得a、b、c三個數的取法數目，②當a、b＜0，c＞0時，此時得到的橢圓與①得到的橢圓重復，綜合即可得答案．

解答 解：根據題意，將方程為ax²+by²+c=0變形可得：$\frac{{x}^{2}}{-\frac{c}{a}}$+$\frac{{y}^{2}}{-\frac{c}{b}}$=1，
若其表示橢圓，則必有-$\frac{c}{a}$＞0，-$\frac{c}{b}$＞0，即有a、b＞0，c＜0或a、b＜0，c＞0，
①當a、b＞0，c＜0時，
a、b需要在1，2，3三個數中任取2個，有A₃²=3×2=6種取法，
c在-3，-2，-1三個數中任取1個，有3種取法，
則a、b、c一共有6×3=18種取法，
即一共可以確定18個橢圓，
②當a、b＜0，c＞0時，同理，a、b、c也有18種取法，
但此時得到的橢圓與①得到的橢圓重復，
故一共可以確定18個橢圓，
故選：B．

點評 本題考查排列、組合的實際運用，涉及橢圓的標準方程，關鍵利用橢圓的標準方程，分析a、b、c可取的值．