Question

11．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是平行四邊形，BA=BD=$\sqrt{2}$，AD=2，PA=PD=$\sqrt{5}$，E，F分別是棱AD，PC的中點．
（Ⅰ）證明 AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）若二面角P-AD-B為60°，求直線EF與平面PBC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）證明BE⊥AD，PE⊥AD，然后證明AD⊥平面PBE；
（Ⅱ）說明∠PEB即為二面角P-AD-B的平面角，∠PEB=60°，證明EB⊥PB，EB⊥BC，推出EB⊥平面PBC，說明∠EFB為EF與面PBC所成的角通過求解三角形求解直線EF與平面PBC所成角的正弦值．

解答 解：（Ⅰ）證明：
∵BA=BD=$\sqrt{2}$，PA=PD=$\sqrt{5}$，又E為AD的中點，
∴BE⊥AD，PE⊥AD，
∴AD⊥平面PBE；…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知∠PEB即為二面角P-AD-B的平面角，即∠PEB=60°，
又在Rt△PDE中∠PED=90°，PD=$\sqrt{5}$，DE=1
∴PE=2      同理可得BE=1
∴在△PBE中，由余弦定理得PB=$\sqrt{3}$．
∴BE²+PB²=PE²
∴∠PBE=90°
∴EB⊥PB
又EB⊥AD，BC∥AD
∴EB⊥BC
∴EB⊥平面PBC，
∴∠EFB為EF與面PBC所成的角
又在Rt△PBC中∠PBC=90°，PB=$\sqrt{3}$，BC=2
∴PC=$\sqrt{7}$
又F為PC中點∴$BF=\frac{PC}{2}$
∴$BF=\frac{{\sqrt{7}}}{2}$ 而EB=1
∴在Rt△EFB中由勾股定理有
∴$EF=\frac{{\sqrt{11}}}{2}$∴sin∠EFB=$\frac{1}{{\frac{{\sqrt{11}}}{2}}}=\frac{{2\sqrt{11}}}{11}$
即直線EF與平面PBC所成角的正弦值為$\frac{2\sqrt{11}}{11}$．…（12分）

點評 本題考查直線與平面垂直的判定定理以及性質定理的應用，直線與平面所成角的求法，考查空間想象能力以及計算能力．