Question

20．在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），以原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{3}sinθ$．
（1）寫出曲線C的直角坐標方程；
（2）已知直線l與x軸的交點為P，與曲線C的交點為A，B，若AB的中點為D，求|PD|的長．

Answer 1

分析 （1）曲線C的極坐標方程化為${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，由此能求出曲線C的直角坐標方．
（2）P的坐標為$（\sqrt{3}，0）$，將l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程得：${t^2}-（3+\sqrt{3}）t+3=0$，由此能求出|PD|的長．

解答 解：（1）∵曲線C的極坐標方程為$ρ=2\sqrt{3}sinθ$，
∴${ρ}^{2}=2\sqrt{3}ρsinθ$，
∴x²+y²=2$\sqrt{3}y$，
∴曲線C的直角坐標方程為${x^2}+{（y-\sqrt{3}）^2}=3$．
（2）P的坐標為$（\sqrt{3}，0）$，在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\frac{1}{2}t\end{array}\right.$（t為參數），
將l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程得：${t^2}-（3+\sqrt{3}）t+3=0$，
設點A，B，D對應的參數分別為t₁，t₂，t₃，
則${t_1}+{t_2}=3+\sqrt{3}$，t₁t₂=3，
$|PD|=|{t_3}|=|\frac{{{t_1}+{t_2}}}{2}|=\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$，
∴|PD|的長為$\frac{{3+\sqrt{3}}}{2}$．

點評 本題考查參數方程與極坐標方程的互化，考查線段長的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意直角坐標方程與極坐標方程互化公式的合理運用．