Question

1．為建設美麗鄉村，政府欲將一塊長12百米，寬5百米的矩形空地ABCD建成生態休閑園，園區內有一景觀湖EFG（圖中陰影部分），以AB所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立平面直角坐標系xOy（如圖所示）．景觀湖的邊界線符合函數y=x+$\frac{1}{x}$（x＞0）模型，園區服務中心P在x軸正半軸上，PO=$\frac{4}{3}$百米．
（1）若在點O和景觀湖邊界曲線上一點M之間修建一條休閑長廊OM，求OM的最短長度；
（2）若在線段DE上設置一園區出口Q，試確定Q的位置，使通道PQ最短．

Answer 1

分析 （1）設M（x，x+$\frac{1}{x}$），利用距離公式得出|OM|²關于x的函數，利用基本不等式求出最小值即可；
（2）當直線PQ與湖邊界相切時，通道最短，設出切線方程，與邊界函數聯立，令△=0即可得出切線方程，從而確定Q點的位置．

解答 解：（1）設M（x，x+$\frac{1}{x}$），則|OM|²=x²+（x+$\frac{1}{x}$）²=2x²+$\frac{1}{{x}^{2}}$+2≥2$\sqrt{2}$+2，
當且僅當2x²=$\frac{1}{{x}^{2}}$即x²=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時取等號，
∴|OM|的最短距離為$\sqrt{2\sqrt{2}+2}$．
（2）過P作函數y=x+$\frac{1}{x}$的切線l，設切線l的方程為y=k（x-$\frac{4}{3}$）（k＜0），
聯立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{4}{3}）}\\{y=x+\frac{1}{x}}\end{array}\right.$，得（1-k）x²+$\frac{4k}{3}$x+1=0，
令△=$\frac{16}{9}$k²-4（1-k）=0得k=-3或k=$\frac{3}{4}$（舍），
∴直線l的方程為y=-3（x-$\frac{4}{3}$），
令y=5得x=-$\frac{1}{3}$，
∴DQ=6-$\frac{1}{3}$=$\frac{17}{3}$．
∴當|DQ|=$\frac{17}{3}$時，通道PQ最短．

點評 本題考查了函數模型的實際應用，函數最值與基本不等式，屬于中檔題．