Question

已知是拋物線上的點，是的焦點， 以為直徑的圓與軸的另一個交點為.
（Ⅰ）求與的方程；
（Ⅱ）過點且斜率大于零的直線與拋物線交于兩點，為坐標原點，的面積為，證明：直線與圓相切.

Answer 1

（Ⅰ），；（Ⅱ）詳見解析.

試題分析：（Ⅰ）利用為圓的直徑，則求得點的橫坐標，再由點在拋物線上求得曲線的方程，再 根據(jù)圓的圓心是的中點，易求圓的方程；（Ⅱ）聯(lián)立方程組，消去得到關于的一元二次方程，利用一元二次方程的根與系數(shù)關系求出 ，利用弦長公式、三角形的面積公式求出直線的方程，點到直線的距離公式求圓心到的距離等于圓的半徑，證明直線與圓相切.
試題解析：(Ⅰ) 為圓的直徑，則，即，
把代入拋物線的方程求得，
即，；       3分
又圓的圓心是的中點，半徑，
則：.       5分
(Ⅱ) 設直線的方程為，,，
由得，則  7分
設的面積為,則
     9分
解得：，又，則
∴直線的方程為，即
又圓心到的距離，故直線與圓相切.   12分