Question

19．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}$x³-$\frac{a}{2}$x²+2x+1，且f（x）在區間（-2，-1）內存在單調遞減區間，則實數a的取值范圍（-∞，-2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 求出函數的導數，問題轉化為a＜（x+$\frac{2}{x}$）_max=-2$\sqrt{2}$，根據不等式的性質求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=x²-ax+2，
由題意得?x∈（-2，-1），
使得不等式f′（x）=x²-ax+2＜0成立，
即x∈（-2，-1）時，a＜（x+$\frac{2}{x}$）_max，
令g（x）=x+$\frac{2}{x}$，x∈（-2，-1），
則g′（x）=1-$\frac{2}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-2}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：-2＜x＜-$\sqrt{2}$，
令g′（x）＜0，解得：-$\sqrt{2}$＜x＜-1，
故g（x）在（-2，-$\sqrt{2}$）遞增，在（-$\sqrt{2}$，-1）遞減，
故g（x）_max=g（-$\sqrt{2}$）=-2$\sqrt{2}$，
故滿足條件a的范圍是（-∞，-2$\sqrt{2}$），
故答案為：（-∞，-2$\sqrt{2}$）．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及不等式的性質，是一道中檔題．