Question

3．如圖，過橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞1）上頂點和右頂點分別作圓x²+y²=1的兩條切線的斜率之積為-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，則橢圓的離心率的取值范圍是$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．

Answer 1

分析 由題意設出兩切線方程，由點到直線的距離公式可得a與k，b與k的關系，代入橢圓離心率可得e與k的關系，求出函數值域得答案．

解答 解：由題意設兩條切線分別為：y=kx+b，y=-$\frac{\sqrt{2}}{2k}$（x-a）（k≠0），
由圓心到兩直線的距離均為半徑得：
$\frac{b}{\sqrt{{k}^{2}+1}}=1$，$\frac{\sqrt{2}a}{\sqrt{4{k}^{2}+2}}=1$，
化簡得：b²=k²+1，a²=2k²+1．
∴$e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}}=\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{{k}^{2}+1}{2{k}^{2}+1}}$
=$\sqrt{\frac{1}{2+\frac{1}{{k}^{2}}}}$（k≠0）．
∴0＜e＜$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$（{0，\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$．

點評 本題考查橢圓的簡單性質，考查了點到直線距離公式的應用，訓練了函數值域的求法，是中檔題．