Question

2．在棱長均相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N，D分別是棱B₁C₁，C₁C，BC的中點．
（Ⅰ）求證：A₁M∥平面AB₁D；
（Ⅱ）求證：BN⊥平面A₁MC．

Answer 1

分析 （Ⅰ）推導出A₁M∥AD，由此能證明A₁M∥平面AB₁D．
（Ⅱ）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DM為z軸，建立空間直角系，利用向量法能證明BN⊥平面A₁MC．

解答 證明：（Ⅰ）∵棱長均相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
M，D分別是棱B₁C₁，BC的中點，
∴A₁M∥AD，
∵A₁M?平面AB₁D，AD?平面AB₁D，
∴A₁M∥平面AB₁D．
（Ⅱ）∵在棱長均相等的正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，M，N，D分別是棱B₁C₁，C₁C，BC的中點，
∴以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，
DM為z軸，建立空間直角系，
設棱長為2，則B（0，-1，0），N（0，1，1），A₁（$\sqrt{3}$，0，2），M（0，0，2），
C（0，1，0），
$\overrightarrow{BN}$=（0，2，1），$\overrightarrow{M{A}_{1}}$=（$\sqrt{3}$，0，0），$\overrightarrow{MC}$=（0，1，-2），
$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{M{A}_{1}}$=0，$\overrightarrow{BN}•\overrightarrow{MC}$=0，
∴BN⊥MA₁，BN⊥MC，
∵MA₁∩MC=M，∴BN⊥平面A₁MC．

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．