Question

20．已知函數f（x）=ax³-3x²+1有且只有一個零點x₀，且x₀＜0，則實數a的范圍為（2，+∞）．

Answer 1

分析 （i）當a=0時，f（x）=-3x²+1，令f（x）=0，解得x=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，舍去．
（ii）當a≠0時，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$），令f′（x）=0，解得x=0或$\frac{2}{a}$．對a分類討論：①當a＜0時，不滿足條件；②當a＞0時，由題意可得f（x）_min=f（$\frac{2}{a}$）＞0，解得答案．

解答 解：（i）當a=0時，f（x）=-3x²+1，令f（x）=0，解得x=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，函數f（x）有兩個零點，舍去．
（ii）當a≠0時，f′（x）=3ax²-6x=3ax（x-$\frac{2}{a}$），令f′（x）=0，解得x=0或$\frac{2}{a}$．
①當a＜0時，$\frac{2}{a}$＜0，
當x＜$\frac{2}{a}$或x＞0時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減；
當$\frac{2}{a}$＜x＜0時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增．
∴$\frac{2}{a}$是函數f（x）的極小值點，0是函數f（x）的極大值點．
由f（0）=1，可得函數存在正零點，不滿足條件；
②當a＞0時，$\frac{2}{a}$＞0，
當x＞$\frac{2}{a}$或x＜0時，f′（x）＞0，此時函數f（x）單調遞增；
當0＜x＜$\frac{2}{a}$時，f′（x）＜0，此時函數f（x）單調遞減．
∴$\frac{2}{a}$是函數f（x）的極小值點，0是函數f（x）的極大值點．
∵函數f（x）=ax³-3x²+1存在唯一的零點x₀，且x₀＜0，則f（$\frac{2}{a}$）＞0，
即$\frac{8}{{a}^{2}}$-$\frac{12}{{a}^{2}}$+1＞0，a＞0，解得a＞2．
綜上可得：實數a的取值范圍是（2，+∞）．
故答案為：（2，+∞）

點評 本題考查了利用導數研究函數的單調性極值與最值、函數的零點，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．