Question

5．設函數f（x）=e^x-ax-1
（1）若函數f（x）在R上單調遞增，求α的取值范圍；
（2）當α＞0時，設函數f（x）的最小值為g（a），求證：g（a）≤0．

Answer 1

分析 （1）求出原函數的導函數，由函數f（x）在R上單調遞增，可得其導函數大于等于0恒成立，由此求得實數a的取值范圍；
（2）由導數求出函數f（x）的最小值g（a）=a-alna-1，然后利用導數求出函數g（a）的最大值得答案；

解答 （1）解：由f（x）=e^x-ax-1，得f′（x）=e^x-a，
∵函數f（x）在R上單調遞增，
∴f′（x）=e^x-a≥0對任意x∈R恒成立，即a≤e^x恒成立，
∵e^x＞0，∴a≤0，
故實數a的取值范圍是（-∞，0]；
（2）證明：a＞0，由f′（x）=e^x-a＜0，得x＜lna，
由f′（x）=e^x-a＞0，得x＞lna，
∴當x=lna時，f（x）_min=f（lna）=elna-alna-1=a-alna-1，
即g（a）=a-alna-1，
則g′（a）=-lna．
由-lna=0，得a=1，
∴g（a）≤g（1）=0，
∴g（a）≤0．

點評 本題考查利用導數求函數的單調區間，以及根據函數的增減性得到函數的最值，考查不等式恒成立時所取的條件，是一道中檔題．