Question

20．已知函數$f（x）={log_a}^{（3-ax）}$
（1）若f（x）的圖象經過點（4，1），求a的值
（2）是否存在實數a，使得函數f（x）在區間[1，2]上為減函數，并且最大值為1？如果存在，試求出a的值，如果不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用函數的圖象經過的點，代入方程求解即可．
（2）利用復合函數的單調性，求出a，然后判斷函數的定義域是否有意義，即可解答本題．

解答 解：（1）依題意知$f（4）={log_a}^{（3-4a）}=1$，
∴3-4a=a，
∴$a=\frac{3}{5}$…（4分）
（2）假設存在這樣的實數a，則由題設知f（1）=1=${log_a}^{（3-a）}$，
∴$a=\frac{3}{2}$，此時$f（x）={log_a}^{（3-\frac{3}{2}x）}$，
但x=2時，$f（x）={log_{\frac{3}{2}}}^0$無意義，
故這樣的實數a不存在．…（12分）

點評 本題考查函數的解析式的應用，復合函數的單調性的應用，考查轉化思想以及計算能力．