Question

9．有甲、乙兩個班級進行數學考試，按照大于等于85分為優秀，85分以下為非優秀統計成績后，得到如下的列聯表．

	優秀	非優秀	總計
甲班	10
乙班		30
合計			105

已知在全部105人中隨機抽取一人為優秀的概率為$\frac{2}{7}$．
（1）請完成上面的列聯表；
（2）根據列聯表的數據，若按97.5%的可靠性要求，能否認為“成績與班級有關系”；
（3）若按下面的方法從甲班優秀的學生抽取一人：把甲班優秀的10名學生從2到11進行編號，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，出現的點數之和為被抽取人的序號．試求抽到8或9號的概率．
參考公式和數據：${K^2}=\frac{{n{{（ad-bc）}^2}}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

Answer 1

分析 （1）根據題意，填寫2×2列聯表即可；
（2）根據列聯表中的數據，計算觀測值K²，對照臨界值表得出結論；
（3）利用列舉法計算基本事件數，即可求出對應的概率值．

解答 解：（1）根據題意，填寫2×2列聯表如下；

	優秀	非優秀	總計
甲班	10	45	55
乙班	20	30	50
合計	30	75	105

…（4分）
（2）根據列聯表中的數據，計算
${K^2}=\frac{{105×{{（10×30-20×45）}^2}}}{55×50×30×75}≈6.109＞5.02$，
對照臨界值表得，
有97.5%的把握認為成績與班級有關系；…（8分）
（3）設“抽到10或11號”為事件A，先后兩次拋擲一枚均勻的骰子，
出現的點數為（x，y），則所有基本事件是
（1，1）、（1，2）、（1，3）、…、（6，6），共36個；
事件A包含的基本事件是
（2，6）、（3，5）、（4，4）、（5，3）、（6，2）、
（3，6）、（4，5）、（5，4）、（6，3）共9個，
∴所求的概率值為$P（A）=\frac{9}{36}=\frac{1}{4}$．…（12分）

點評 本題考查了獨立性檢驗和列舉法求古典概型的概率問題，是基礎題目．