Question

19．如圖，圓C：x²+y²+2x-3=0內有一點P（-2，1），AB為過點P且傾斜角為α的弦．
（1）當α=135°時，求AB的長；
（2）當弦AB被點P平分時，寫出直線AB的方程；
（3）若圓C上的動點M與兩個定點O（0，0），R（a，0）（a≠0）的距離之比恒為定值λ（λ≠1），求實數a的值．

Answer 1

分析 （1）判斷直線經過圓的圓心，然后求解弦長．
（2）弦AB被點P平分時，AB⊥PC，k_AB•k_PC=-1，又k_PC=-1，然后求解直線方程．
（3）設M（x₀，y₀），則滿足${x_0}^2+{y_0}^2+2{x_0}-3=0$，①，通過$\frac{|MO|}{|MR|}=λ$，即$\frac{{\sqrt{{x_0}^2+{y_0}^2}}}{{\sqrt{{{（{x_0}-a）}^2}+{y_0}^2}}}=λ$．然后求解即可．

解答 解：（1）由題意知，圓心C（1，0），半徑R=2，直線AB的方程為x+y+1=0，
直線AB過圓心C，所以弦長AB=2R=4．…（4分）
（2）當弦AB被點P平分時，AB⊥PC，k_AB•k_PC=-1，又k_PC=-1，
所以k_AB=1，直線AB的方程為x-y+3=0．…（8分）
（3）設M（x₀，y₀），則滿足${x_0}^2+{y_0}^2+2{x_0}-3=0$，①…（9分）
由題意得，$\frac{|MO|}{|MR|}=λ$，即$\frac{{\sqrt{{x_0}^2+{y_0}^2}}}{{\sqrt{{{（{x_0}-a）}^2}+{y_0}^2}}}=λ$．…（10分）
整理得${x_0}^2+{y_0}^2={λ^2}[{x_0}^2-2a{x_0}+{a^2}+{y_0}^2]$，②
由①②得，$3-2{x_0}={λ^2}[3-2{x_0}-2a{x_0}+{a^2}]$恒成立，
所以$\left\{\begin{array}{l}3={λ^2}（3+{a^2}）\\-2={λ^2}（-2-2a）\end{array}\right.$，又a≠0，λ＞0，λ≠1，
解之得a=3．…（12分）

點評 本題考查直線與圓的位置關系的綜合應用，考查轉化思想以及計算能力．