Question

11．為了提高學生學習數學的興趣，某校決定在每周的同一時間開設《數學史》、《生活中的數學》、《數學與哲學》、《數學建模》四門校本選修課程，甲、乙、丙三位同學每人均在四門校本課程中隨機選一門進行學習，假設三人選擇課程時互不影響，且每一課程都是等可能的．
（1）求甲、乙、丙三人選擇的課程互不相同的概率；
（2）設X為甲、乙、丙三人中選修《數學史》的人數，求X的分布列和數學期望E（X）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據分步計數原理總事件數是4³，滿足條件的事件數是A₄³，利用古典概率計算公式即可得出．
（Ⅱ）設X為甲、乙、丙三人中選修《數學史》的人數，則X=0，1，2，3．P（ξ=0）=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}$；P（ξ=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}×{3}^{2}}{{4}^{3}}$；P（ξ=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}×3}{{4}^{3}}$；P（ξ=3）=$\frac{1}{{4}^{3}}$，即可得出．

解答 解：（Ⅰ）根據分步計數原理總事件數是4³，滿足條件的事件數是A₄³，
∴3個學生選擇了3門不同的選修課的概率：P₁=$\frac{{A}_{4}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{3}{8}$
（Ⅱ）設X為甲、乙、丙三人中選修《數學史》的人數，則X=0，1，2，3．
P（X=0）=$\frac{{3}^{3}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$；
P（X=1）=$\frac{{∁}_{3}^{1}×{3}^{2}}{{4}^{3}}$=$\frac{27}{64}$；
P（X=2）=$\frac{{∁}_{3}^{2}×3}{{4}^{3}}$=$\frac{9}{64}$；
P（X=3）=$\frac{1}{{4}^{3}}$=$\frac{1}{64}$．
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{1}{64}$

∴期望Eξ=0×$\frac{27}{64}$+1×$\frac{27}{64}$+$2×\frac{9}{64}$+3×$\frac{1}{64}$=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查了分步計數原理、古典概率計算公式、隨機變量的分布列與數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．