Question

14．已知雙曲線方程為x²-y²=4，過點A（3，1）作直線l與該雙曲線交于M，N兩點，若點A恰好為MN中點，則直線l的方程為（　　）

• A． y=3x-8
• B． y=-3x+8
• C． y=3x-10
• D． y=-3x+10

Answer 1

分析 由題意可知設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2}=4}\\{{x}_{2}^{2}-{y}_{2}^{2}=4}\end{array}\right.$，求得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，由中點坐標公式可知：x₁+x₂=2×3=6，y₁+y₂=2×1=2，代入可知：直線MN的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=3，利用點斜式方程，即可求得直線MN的方程．

解答 解：由雙曲線方程為x²-y²=4為等軸雙曲線，焦點在x軸上，
過點A（3，1）作直線l與該雙曲線交于M，N兩點，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}^{2}-{y}_{1}^{2}=4}\\{{x}_{2}^{2}-{y}_{2}^{2}=4}\end{array}\right.$，兩式相減可得：（x₁-x₂）（x₁+x₂）-（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
A為MN的中點，
∴x₁+x₂=2×3=6，y₁+y₂=2×1=2，
∴6（x₁-x₂）-2（y₁-y）=0，
則$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{6}{2}$=3，
∴直線MN的斜率為k=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=3．
由直線的點斜式方程可知：y-1=3（x-3），整理得：y=3x-8，
故選A．

點評 本題考查雙曲線的中點弦所在直線的斜率求法，考查“點差法”的應用，中點坐標公式及直線的點斜式方程，考查運算能力，屬于中檔題．