Question

8．已知函數f（x）=e^x（x∈R）．
（1）證明：曲線y=f（x）與曲線$y=\frac{1}{2}{x^2}+x+1$有唯一公共點；
（2）設a＜b，比較$f（\frac{a+b}{2}）$與$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}$的大小，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設$g（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-x-1$，求出導數，令h（x）=e^x-x-1，求得導數和單調區間，可得h（x）的最小值，g（x）的單調性，再由g（0）=0，即可得證；
（2）結論：$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＞f（\frac{a+b}{2}）$．運用作差法，設m（x）=e^x-e^-x-2x，求得導數，由基本不等式可得m（x）的單調性，即可得到結論．

解答 解：（1）證明：設$g（x）={e^x}-\frac{1}{2}{x^2}-x-1$，g'（x）=e^x-x-1，
令h（x）=e^x-x-1，h'（x）=e^x-1，
當x∈（-∞，1）時，h'（x）＜0，h（x）遞減；
當x∈（1，+∞）時，h'（x）＞0，h（x）遞增；
所以h（x）≥h（0）=0，即g'（x）≥0，
所以g（x）在R上單調遞增，
又g（0）=0，故g（x）=e^x-x-1在R上有唯一零點，
即y=f（x）與$y=\frac{1}{2}{x^2}+x+1$有唯一公共點；
（2）結論：$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＞f（\frac{a+b}{2}）$．
作差可得，$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}-f（\frac{a+b}{2}）=\frac{{{e^b}-{e^a}}}{b-a}-{e^{\frac{a+b}{2}}}$=$\frac{{{e^b}-{e^a}-b{e^{\frac{a+b}{2}}}+a{e^{\frac{a+b}{2}}}}}{b-a}$
=$\frac{{{e^{\frac{a+b}{2}}}[{e^{\frac{b-a}{2}}}-{e^{\frac{a-b}{2}}}-（b-a）]}}{b-a}$，
設m（x）=e^x-e^-x-2x，m′（x）=e^x+e^-x-2≥2$\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$-2=0（當且僅當x=0時等號成立）
所以m（x）在R上單調遞增，當x＞0時，m（x）＞m（0）=0．
令$x=\frac{b-a}{2}$，則得${e^{\frac{b-a}{2}}}-{e^{\frac{a-b}{2}}}-（b-a）＞0$，
又$\frac{{{e^{\frac{a+b}{2}}}}}{b-a}＞0$，所以$\frac{f（b）-f（a）}{b-a}＞f（\frac{a+b}{2}）$．

點評 本題考查導數的運用：求單調性，考查函數方程的轉化思想，以及作差法和構造函數法，考查運算能力，屬于中檔題．