Question

【題目】已知函數，其中，為自然對數的底數.

（1）討論的單調性；

（2）當時，求函數在上的最大值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】分析：（1）求出導函數，對按和分類后可確定的正負，即得的單調區間；

（2）由（1）的極值點是，因此在時，函數在上單調遞增，當時，可證（用導數的知識證明），然后比較和的大小，最終求得最大值．

詳解：（1），．

當時，，則在上單調遞增；

當時，令，得．

當時，，單調遞減；當時，，單調遞增．

綜上，當時，在上單調遞增；當時，在單調遞減，在單調遞增.

（2），令，則．

當時，，由（1）的結論可知函數在上單調遞增,.

當時，，下證.事實上，令，

則.當時，，所以在為增函數，且

，即當時，恒成立.

由（1）的結論，知在單調遞減,在單調遞增.

所以在上的最大值等于．

設，則

令，易得，因為，且在恒成立，所以在單調遞增，所以，即恒成立，所以在在上單調遞增，所以在上成立，即.因此，當時，在上的最大值為．

綜上所述，當時，.