Question

【題目】已知函數.

（1）a=1時,求函數f（x）的極值；

（2）若,求f（x）的最小值g（a）的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）f（x）極小值e﹣1,無極大值；（2）[ln2﹣1,e﹣1].

【解析】

(1)代入求導可得,再求導分析單調性與最值可知,進而求得的極值點與單調區間以及極值.

(2)求導后構造導函數得出,再根據(1)中的結論可知恒成立,進而可得在定義域上單調遞增.再根據零點存在定理可知 在上有唯一解,且,進而求得最小值,再根據隱零點問題消去參數,再構造函數關于極值點的函數分析即可.

(1)當a=1時,,則,

令h（x）=ex﹣x,當x∈（0,+∞）時,h′（x）=ex﹣1＞0,

∴在（0,+∞）上,h（x）＞h（0）=1,即ex＞x,

令f′（x）=0,則x=1,經檢驗,在（0,1）上,f′（x）＜0,f（x）單調遞減,在（1,+∞）上,f′（x）＞0,f（x）單調遞增,

∴當x=1時,函數y=f（x）取得極小值e﹣1,無極大值；

(2),令,

則,

由（1）知,當x∈（0,+∞）時,

ex＞x,ex（x2﹣2x+2）﹣x＞x（x2﹣2x+2）﹣x=x（x﹣1）2≥0,

∴p′（x）＞0在（0,+∞）上恒成立,

∴f′（x）在定義域上單調遞增,

∵,

∴,

∴方程f′（x）=0在（0,+∞）上有唯一解,

設方程f′（x）=0的解為x0,則在（0,x0）上f′（x）＜0,在（x0,+∞）上f′（x）＞0,且1≤x0≤2,

∴f（x）的最小值為,

由f′（x）=0得,代入g（a）得,,

令,則,

∵﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1≤﹣1,

∴ex（﹣x2+2x﹣2）+x≤x﹣ex＜0,

∴φ（x）在[1,2]上為減函數,

∴,

∴g（a）∈[ln2﹣1,e﹣1].