Question

18．已知函數(shù)f（x）=2$\sqrt{3}$sin（π+x） cos（-3π-x）-2sin（$\frac{π}{2}$-x）cos（π-x）．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{12}$）=$\frac{3}{2}$，α是第二象限角，求cos（2α+$\frac{π}{3}$）的值．

Answer 1

分析 （1）利用誘導(dǎo)公式和輔助角公式將已知函數(shù)解析式轉(zhuǎn)化為正弦函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)圖象來求其單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）由（1）中的函數(shù)解析式求得sinα=$\frac{1}{4}$．根據(jù)α的取值范圍得到cosα=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$．所以利用二倍角公式和兩角和與差的余弦公式進(jìn)行解答即可．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-2cosx（-cosx）=$\sqrt{3}$sin2x+2cos²x=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+1=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+1，
由2kπ-$\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z），得kπ-$\frac{π}{3}$≤x≤kπ+$\frac{π}{6}$（k∈Z）．
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-$\frac{π}{3}$，kπ+$\frac{π}{6}$]（k∈Z）．
（2）∵f（$\frac{α}{2}$-$\frac{π}{12}$）=2sinα+1=$\frac{3}{2}$，
∴sinα=$\frac{1}{4}$．
∵α是第二象限角，
∴cosα=-$\sqrt{1-sin2α}$=-$\frac{\sqrt{15}}{4}$．
∴sin2α=-$\frac{\sqrt{15}}{8}$，cos2α=$\frac{7}{8}$．
∴cos（2α+$\frac{π}{3}$）=cos2αcos$\frac{π}{3}$-sin2αsin$\frac{π}{3}$=$\frac{7}{8}$×$\frac{1}{2}$-（-$\frac{\sqrt{15}}{8}$）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{7+3\sqrt{5}}{16}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．