Question

【題目】設數列滿足，其中A，B是兩個確定的實數，

（1）若，求的前n項和；

（2）證明：不是等比數列；

（3）若，數列中除去開始的兩項外，是否還有相等的兩項，并證明你的結論.

Answer 1

【答案】（1）（2）證明見解析（3）沒有，理由見解析

【解析】

（1）由，數列的前n項和為一個等比數列和一個等差數列的前項和，根據等比、等差數列的前項和公式，即可求解；

（2）用反證法證明，求出，假設是等比數列，由得出關系，化簡，不滿足，所以假設不成立，即可證明結論；

（3）由，得出，且，得，設，證明是遞增數列，可得結論.

（1），故前n項之和

（2），，．

若是等比數列，則

即，即．

因，故，且．

此時，，，，不滿足．

因此不是等比數列．

（3）即，即，且．

此時，．

設．

，

當且僅當時等號成立，故．

即除外，的各項依次遞增．

因此中除去和之外，沒有其它的兩項相等．