Question

10．已知函數f（x）=-$\frac{2+a{x}^{2}}{{e}^{x}}$（a＞0）在區間[0，1]上有極值，且函數f（x）在區間[0，1]上的最小值不小于-$\frac{7}{e}$，則a的取值范圍是（　　）

• A． （2，5]
• B． （2，+∞）
• C． （1，4}
• D． [5，+∞）

Answer 1

分析 求出函數的導數，根據函數f（x）在[0，1]有極值，以及函數f（x）的單調性求出a的范圍即可．

解答 解：f′（x）=$\frac{{a（x-1）}^{2}+2-a}{{e}^{x}}$，
若f（x）在[0，1]上有極值，
則$\left\{\begin{array}{l}{f′（0）＞0}\\{f′（1）＜0}\end{array}\right.$即$\left\{\begin{array}{l}{2＞0}\\{2-a＜0}\end{array}\right.$，解得：a＞2，
f（x）在[0，1]先遞增再遞減，
故f（x）_min=f（1）=-$\frac{2+a}{e}$≥-$\frac{7}{e}$，解得：a≤5，
故a∈（2，5]，
故選：A．

點評 本題考查了函數的單調性、極值、最值問題，考查導數的應用，是一道中檔題．