Question

【題目】已知函數

（1）求函數f(x)是單調區間；

（2）如果關于x的方程有實數根，求實數的取值集合；

（3）是否存在正數k，使得關于x的方程有兩個不相等的實數根？如果存在，求k滿足的條件；如果不存在,說明理由.

Answer 1

【答案】(1) 是函數的增區間；（－1，0）和（0，3）是函數的減區間;

(2) 實數m的取值范圍是;(3) 滿足條件的正數k不存在.

【解析】試題分析：（1）先求函數導數，再求導函數零點，列表分析導函數符號變化規律，確定單調區間，（2）分離參變得求函數值域，利用導數求值域，（3）由于為恒正遞增函數， 是 上恒正減函數，因此可得矛盾，即推得不存在

試題解析：（1）函數的定義域是

對求導得

由 ，由

因此 是函數的增區間；

（－1，0）和（0，3）是函數的減區間

（2）因為

所以實數m的取值范圍就是函數的值域

對

令

∴當x=2時取得最大值，且

又當x無限趨近于0時，無限趨近于無限趨近于0，

進而有無限趨近于－∞.因此函數的值域是

即實數m的取值范圍是

（3）結論：這樣的正數k不存在。

證明：假設存在正數k，使得關于x的方程

有兩個不相等的實數根，則

根據對數函數定義域知都是正數。

又由（1）可知，當

∴=

再由k>0，可得

由于 不妨設 ，由①和②可得

利用比例性質得

即

由于上的恒正增函數，且

又由于 上的恒正減函數，且 ∴

∴，這與（*）式矛盾。因此滿足條件的正數k不存在.