Question

19．已知函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[-$\frac{π}{2}$，0]）的周期為π，將函數f（x）的圖象沿著y軸向上平移一個單位得到函數g（x）圖象，設g（x）＜1，對任意的x∈（-$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{12}$）恒成立，當φ取得最小值時，g（$\frac{π}{4}$）的值是（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． 1
• C． $\frac{3}{2}$
• D． 2

Answer 1

分析 根據g（x）＜1得出-π+2kπ＜2x+φ＜2kπ，k∈Z；再根據x∈（-$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{12}$）得出-$\frac{2π}{3}$+φ＜2x+φ＜-$\frac{π}{6}$+φ，可求φ的范圍，從而求出g（$\frac{π}{4}$）的值．

解答 解：∵函數f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ∈[-$\frac{π}{2}$，0]）的周期為π=$\frac{2π}{ω}$，
∴ω=2，f（x）=sin（2x+φ），
g（x）=sin（2x+φ）+1＜1，
∴sin（2x+φ）＜0，
∴-π+2kπ＜2x+φ＜2kπ，k∈Z；
又x∈（-$\frac{π}{3}$，-$\frac{π}{12}$），
∴-$\frac{2π}{3}$＜2x＜-$\frac{π}{6}$，
∴-$\frac{2π}{3}$+φ＜2x+φ＜-$\frac{π}{6}$+φ；
∴2kπ-$\frac{π}{3}$≤φ≤2kπ+$\frac{π}{6}$，k∈Z；
又∵φ∈[-$\frac{π}{2}$，0]，
∴-$\frac{π}{3}$≤φ≤0，
∴當φ取得最小值-$\frac{π}{3}$時，g（$\frac{π}{4}$）=sin（2×$\frac{π}{4}$-$\frac{π}{3}$）+1=$\frac{1}{2}+1$=$\frac{3}{2}$．
故選：C．

點評 本題考查了正弦函數的圖象與性質的應用問題，解題的關鍵是求出φ的取值范圍，是綜合性題目．